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Hilbert D. (ed.) Gesammelte abhandlungen von Hermann Minkowski. Band 1 (Leipzig, 1911)(600dpi)(KA)(de)(T)(407s).djvu |
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Size 6.9Mb Date Jan 5, 2005 |
Existenz des Genus notwendigen Bedingungen genügen, d^ sei gleich 1^
das Genus also primitiv...
Offenbar entstehen alle mög-
möglichen Systeme |^., wenn wir diese besonderen Systeme x-^ mit allen posi-
positiven und zu BAT? relativ primen Zahlen s multiplizieren...
In diesem Falle existiert auch das Genus G{m) nicht, und
man hat sein Maß gleich 0 zu setzen...
Wir vergleichen jetzt den früher gefundenen Ausdruck von L mit
dem Grenzwerte Lim l q ^ J-~\...
Aus den Summen L^ folgen umgekehrt die Größen L(ni) mit Hilfe der
Gleichungen 2^+^ • L(m) ==^c(m)-i^...
Die Zahlen ^^ und g?2 ^^^^ dann
prim zueinander, und es gelten zwei Kongruenzen
— o^(j2(p2 ^ ^1^ (mod (?i^9i)
— o^ö^cp^ '^ X^ (mod (TgVa)-
Dieselben geben
f/)l + l fp.2 + 1
901^1, ^2^1 (mod 4),
was nur mit (?^ == 1, ^g"" ^ verträglich ist...
Daher enthält eine Klasse vollständig äquivalenter
Formen ebensoviel verschiedene Formen, als verschiedene Substitutionen
8^ existieren...
Bei ganzzahligen Koeffizienten üj^^ liefert daher eine Zerlegung in
irreduktible Paktoren für A einen Ausdruck:
A) {r - irUr)fAr) • • •, (^'^^0, 2;> 1)
wenn mit f^(r) für eine ganze Zahl i/> 1 diejenige ganze Punktion
g?(i/)*®° Grades bezeichnet wird, welche für die primitiven v^^^ Binheits-
wurzeln verschwindet und als Koeffizient des höchsten Gliedes die Zahl 1
hat...
Unterwirft man die Form einer beliebio-en linearen Transformation
"ö^
mit rationalen Koeffizienten und von nichtverschwindender Determinante,
so bleibt dabei zunächst außer den Zahlen n und I, da die Determinante
*) Bei der Untersuchung der ternären diophantischen Gleichungen vom Geschlechte
Null wurden Herr Hilbert und ich auf diese Frage geführt...
Durch eine Reihe von sehr einfachen ganzzahligen Transformationen
mit der Determinante 1 und von solchen rationalen Transformationen,
welche jede darin bestehen, daß sie eine einzelne Variable rational ver-
vervielfachen, gelingt es nun stets, wie ich zeigen werde, die vorgelegte Form
in eine Form mit ganzzahligen Koeffizienten und genau von der Deter-
Determinante ^BB überzuführen...
Da die Zahlen A und B^ Produkte von lauter verschiedenen Prim-
Primzahlen sind, so sind die Werte dieser beiden Zahlen aus dem Werte der
einen Zahl D ^ AE^E^ zu entnehmen, welche, da B^ zu A relativ prim
ist, keine Primzahl in einer höheren als der zweiten Potenz enthalten
wird...
Die genannten Bedingungen für M
sind aber derart, daß man ihnen durch eine Primmhl gerecht werden
kann, in welchem Falle es sich nur noch um den einen Charakter G^
handeln wird; und dieser wird dann für Mijj und (p deshalb nicht ver-
verschieden sein können, weil er sich für beide Formen in gleicher Weise
durch das Produkt der übrigen Charaktere G^ ausdrücken läßt...
bis aller (n — l)-reihigen Unter-
Unterdeterminanten von I a^^ I — diese Teiler mögen der Reihe nach <^o? ^1; • • •? '^w-s
heißen, endlich diejenigen größten gemeinsamen Teiler, welche an die
Stelle dieser Teiler treten, wenn von den betreffenden Unterdeterminanten
die unsymmetrischen mit dem Faktor 2 multipliziert genommen werden
*) Journal de Liouville...
Bemerkenswert ist namentlich, daß diese Summe nur von der
Determinante A und dem Reste von I (mod 4) abhängt, im übrigen aber
von den Charakteren der Form f völlig unabhängig ist...
Die Determinante dieser Form ent-
enthält genau die Potenz _p"* als Faktor, und m ist eine Zahl zwischen 0
und n...
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